Dec B: Personlige værdier

Lineær regression for forandringsvillighed og selvforbedring, alder som kategori, og korrelation vs. kausalitet.

Figurerne (se PDF) viser to kvantitative målinger af de personlige værdier forandringsvillighed ($F$) og selvforbedring ($S$) på en skala fra 0 til 10. Plottene viser målinger for 80 personer. På plottet til højre er data inddelt i fire aldersgrupper (0–19, 20–39, 40–59, 60+).

Se PDF for scatterplots.

Hvis vi kun ser på aldersgruppen 60+, kan en lineær regressionsmodel bestemmes til

$$S=4.6+0.6\cdot F$$

Spørgsmål B.1

Hvad vil værdien af selvforbedring ($S$) være ifølge ovenstående model for en 60+ årig med forandringsvillighed $F=6$?

Vis svar Skjul svar

Svar B.1

$$S=4.6+0.6\cdot F=4.6+0.6\cdot 6=8.2$$

8.2

Vi ønsker nu at forudsige selvforbedring ud fra forandringsvillighed i en samlet model for alle aldersgrupper:

$$S=w_0+w_1\cdot F$$

Spørgsmål B.2

Giv ud fra figuren til venstre et groft estimat af modellens parametre, $w_0$ og $w_1$.

Vis svar Skjul svar

Svar B.2

En lineær regressionslinje vil omtrentligt gå gennem punkterne $(F_0=0,\,S_0=6)$ og $(F_1=10,\,S_1=3)$:

$$w_0\approx 6,\qquad w_1\approx\frac{3-6}{10-0}=-0.3$$

(Svar i intervallet $4.5\leq w_0\leq 8$ og $-0.6\leq w_1\leq -0.2$ anses for korrekt.)

$w_0\approx 6$, $w_1\approx -0.3$

Vi indfører fire binære variable $A_{0\text{–}19}$, $A_{20\text{–}39}$, $A_{40\text{–}59}$ og $A_{60+}$ (1 for den aldersgruppe personen tilhører, ellers 0) og opstiller

$$S=a\cdot F+b_1\cdot A_{0\text{–}19}+b_2\cdot A_{20\text{–}39}+b_3\cdot A_{40\text{–}59}+b_4\cdot A_{60+}$$

Spørgsmål B.3

Giv ud fra figuren til højre et groft estimat af modellens hældningskoefficient $a$.

Vis svar Skjul svar

Svar B.3

Modellen har én fælles hældning for alle aldersgrupper og eget skæringspunkt pr. gruppe. Hældningen er omtrent den samme som for 60+-gruppen i B.1, nemlig $a=0.6$.

Alternativt, for gruppen 20–39: linje gennem ca. $(4,\,3)$ og $(8,\,5)$ giver

$$a=\frac{5-3}{8-4}=0.5$$

(Svar i intervallet $0.2\leq a\leq 1$ anses for korrekt.)

$a\approx 0.6$

Spørgsmål B.4

Hvad kan vi ud fra data sige om henholdsvis korrelationen og den kausale sammenhæng mellem forandringsvillighed og selvforbedring?

Vis svar Skjul svar

Svar B.4

For den samlede population er der en negativ korrelation mellem $F$ og $S$. Data siger kun noget om den statistiske sammenhæng — vi kan ikke sige noget om den kausale sammenhæng. I hver aldersgruppe er der endda en positiv korrelation mellem $F$ og $S$, hvilket underbygger at vi ikke kan slutte kausalitet.

Negativ korrelation samlet; intet om kausalitet

Se også

Linear models and loss · Association vs causation · Confounding · Covariance and correlation