Dec A: Nedbør

Konfidensinterval for proportion og middelværdi, og stikprøvestørrelse for nedbørsmålinger.

Vi måler hver dag nedbørsmængden i en have. I løbet af de seneste 365 dage har det regnet 180 dage og været tørt de resterende 185 dage. Andelen af dage det har regnet er dermed $p = 180/365 \approx 49\%$. Den gennemsnitlige nedbørsmængde pr. dag er målt til $m_x = 1.9\,\mathrm{[mm]}$, og variansen er beregnet til $s_x^2 = 9.5\,\mathrm{[mm^2]}$.

Spørgsmål A.1

Beregn et 95% konfidensinterval for andelen af regnvejrsdage på et år og angiv grænserne for intervallet.

Vis svar Skjul svar

Svar A.1

Et 95% konfidensinterval for proportionen af regnvejrsdage:

$$p\pm 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=0.49\pm 1.96\sqrt{\frac{0.49(1-0.49)}{365}}\approx 0.49\pm 0.05$$

Grænserne for intervallet er således $[44\%,\,54\%]$.

$[44\%,\,54\%]$

Spørgsmål A.2

Hvis vi i stedet havde talt antallet af regnvejrsdage i en 10-årig periode, hvordan ville bredden af konfidensintervallet da omtrentligt være i forhold til bredden af intervallet beregnet ovenfor?

Vis svar Skjul svar

Svar A.2

Med en større stikprøvestørrelse vil konfidensintervallet blive smallere. Da kvadratroden af stikprøvestørrelsen indgår i nævneren, vil intervallet omtrentligt være $1/\sqrt{10}\approx 0.32$ gange så bredt.

$\approx 0.32$ gange så bredt

Ifølge Danmarks Meteorologiske Institut er den gennemsnitlige nedbørsmængde pr. dag i Danmark præcis $2.1\,\mathrm{[mm]}$.

Spørgsmål A.3

Kan du på baggrund af målingerne fra haven konkludere at der falder mindre regn i haven end der i gennemsnit gør i Danmark?

Vis svar Skjul svar

Svar A.3

Et 95% konfidensinterval for nedbørsmængden i haven:

$$m_x\pm 1.96\cdot\frac{s_x}{\sqrt{n}}=1.9\pm 1.96\cdot\frac{\sqrt{9.5}}{\sqrt{365}}=1.9\pm 0.32$$

Intervallets grænser er $[1.6,\,2.2]$, og den gennemsnitlige nedbørsmængde i Danmark ligger inden for dette interval. Vi kan ikke konkludere at nedbørsmængden i haven er lavere end gennemsnittet i Danmark.

Nej

Vi vil nu bestemme den gennemsnitlige nedbørsmængde pr. dag i en anden have et andet sted i landet, og vi ønsker et 95% konfidensinterval med en fejlmargin på $\pm 0.5\,\mathrm{[mm]}$. Vi vil derfor måle nedbørsmængden på $n$ tilfældigt udvalgte dage.

Spørgsmål A.4

Hvilken stikprøvestørrelse vil du anbefale?

Vis svar Skjul svar

Svar A.4

Ved at løse for $n$ i udtrykket for konfidensintervallet fås

$$n=\frac{1.96^2\cdot s_x^2}{e^2}$$

Da vi ikke kender variansen i den nye have, indsætter vi vores bedste gæt — variansen fra den gamle have:

$$n=\frac{1.96^2\cdot 9.5}{0.5^2}\approx 146$$

$\approx 146$ dage

Se også

Confidence intervals · Sample size calculation · Proportions · Mean and standard deviation