Jun A: Løbekonkurrence

Konfidensinterval for en andel, stikprøvestørrelse og selektionsbias.

En løbeklub vil vurdere om et nyt træningsprogram forbedrer løbernes præstation. Af $n=200$ løbere gennemfører $k=160$ løbet på under 25 minutter, så $\hat{p}=0.80$. Den kendte succesrate før forsøget var $p_0=0.70$. (Histogram: se PDF.)

Spørgsmål A.1

Beregn et 95 %-konfidensinterval for den sande succesrate $p$ efter det nye træningsprogram. Angiv dit svar som $\hat{p}\pm e$.

Vis svar Skjul svar

Svar A.1

Vi indsætter $\hat{p}=0.80$ og $n=200$:

$$0.80\pm 1.96\sqrt{\frac{0.80\cdot 0.20}{200}}=0.80\pm 1.96\cdot 0.0283=0.80\pm 0.055$$

$0.80 \pm 0.055$

Spørgsmål A.2

Kan vi på baggrund af konfidensintervallet konkludere, at det nye program har forbedret succesraten i forhold til $p_0=0.70$? Begrund dit svar.

Vis svar Skjul svar

Svar A.2

Ja. Den tidligere succesrate $p_0=0.70$ ligger uden for konfidensintervallet $[74.5\%,\,85.5\%]$. Vi kan forkaste hypotesen $p=0.70$ og konkludere, at programmet signifikant forbedrer succesraten.

Ja — $p_0$ ligger uden for intervallet.

Spørgsmål A.3

Beregn det nødvendige antal løbere $n$ for nøjagtighed $\pm 3\%$ ($e=0.03$). Benyt $\hat{p}=0.80$.

Vis svar Skjul svar

Svar A.3

$$n=\frac{z_{0.025}^2\,\hat{p}(1-\hat{p})}{e^2}=\frac{1.96^2\cdot 0.80\cdot 0.20}{0.03^2}\approx 683$$

mindst 683 løbere

Spørgsmål A.4

Deltagelse var frivillig. Beskriv en mulig fejlkilde, og forklar hvordan det påvirker fortolkningen.

Vis svar Skjul svar

Svar A.4

Frivillig deltagelse medfører selektionsbias: løbere der vælger programmet kan allerede være mere motiverede. Forbedringen kan derfor ikke entydigt tilskrives programmet — vi kan ikke drage kausale slutninger.

Selektionsbias → ingen sikker kausal fortolkning.

Se også

Confidence intervals · Estimating proportions · Sample size calculation · Confounding