Dec A: Clairvoyance

Test af synske evner: stikprøvestørrelse, 95% konfidensinterval for en proportion, og forsøgsdesign.

En ven hævder at være synsk. Du tænker på én af fem venner (Anna, Bettina, Christian, Dennis eller Elinor), og din ven gætter. Forsøget gentages $n$ gange.

Din ven påstår at kunne gætte mindst 30% korrekt. Tilfældig gætteri giver i gennemsnit 20%. I beregner et 95% konfidensinterval for proportionen af korrekte gæt; hvis intervallet ikke indeholder 20%, konkluderer I at han er synsk.

Spørgsmål A.1

Beregn et estimat af den nødvendige stikprøve-størrelse.

Vis svar Skjul svar

Svar A.1

Vi benytter formlen for stikprøve-størrelse med den påståede proportion $p=0.3$. Da vi vil kunne udelukke 20%, skal intervalbredden være højst 10 procentpoint, $e=0.1$:

$$n=\frac{1.96^2\,p(1-p)}{e^2}=\frac{1.96^2\cdot 0.3\cdot(1-0.3)}{0.1^2}\approx 81$$

≈ 81

I ender med at benytte $n=100$, og din ven gætter rigtigt i $n_x=29$ tilfælde.

Spørgsmål A.2

Beregn et 95% konfidensinterval for proportionen, og angiv svaret som $0.29\pm e$, hvor $e$ er bredden af intervallet.

Vis svar Skjul svar

Svar A.2

$$e=1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=1.96\sqrt{\frac{0.29\cdot(1-0.29)}{100}}\approx 0.089$$

$0.29\pm 0.089$

Spørgsmål A.3

Hvis din ven havde gættet korrekt i færre end $n_x=29$ tilfælde, ville det beregnede konfidensinterval da blive bredere, smallere, eller forblive uændret?

Vis svar Skjul svar

Svar A.3

Konfidensintervallet for en proportion er breddest for $p=0.5$. Falder proportionen under 0.29 (fx $p=0.28$), bliver intervallet smallere:

$$1.96\sqrt{\frac{0.28\cdot 0.72}{100}}\approx 0.088$$

Smallere

Spørgsmål A.4

Angiv mindst to måder hvorpå forsøgs-metoden kunne ændres, således at vi med større statistisk sikkerhed vil kunne fastslå om din ven er synsk.

Vis svar Skjul svar

Svar A.4

Med et 95% konfidensinterval ligger den sande proportion kun i 95% af tilfældene inden for intervallet. Intervallet er desuden bredt pga. den forholdsvis lille stikprøve. For større sikkerhed kan vi benytte et højere konfidens-niveau og/eller en større stikprøve-størrelse.

Højere konfidens-niveau og/eller større stikprøve

Se også

Confidence intervals · Sample size calculation · Proportions